Unir dos pilares: relatividad y mecánica cuántica
Antes de Dirac, la mecánica cuántica tenía su ecuación fundacional en la propuesta de Schrödinger. Sin embargo, esta ecuación no respetaba las leyes de la relatividad especial. Los físicos necesitaban una descripción más completa, que explicara el comportamiento de partículas como el electrón, pero que también tuviera sentido a velocidades cercanas a la de la luz.
El primer intento fue la ecuación de Klein-Gordon, que sí respetaba la relatividad, pero no funcionaba bien para partículas con espín ½, como los electrones. Además, daba lugar a probabilidades negativas, lo que no tiene sentido físico.
Dirac se propuso entonces encontrar una ecuación que fuera lineal en derivadas, tal como lo era la de Schrödinger, pero también consistente con la relatividad. Quería evitar términos como \( \partial^2/\partial t^2 \), que aparecían en Klein-Gordon, y obtener una ecuación del tipo:
\[ E = \boldsymbol{\alpha} \cdot \vec{p} + \beta m \]
Donde \( \boldsymbol{\alpha} \) y \( \beta \) serían matrices aún por definir, y cuya combinación permitiría mantener la estructura relativista.
La demostración paso a paso
Para que la ecuación sea consistente con la relatividad, Dirac impuso que al elevarla al cuadrado debía recuperarse la relación relativista conocida:
\[ E^2 = p^2 + m^2 \]
Al elevar al cuadrado la expresión \( E = \boldsymbol{\alpha} \cdot \vec{p} + \beta m \), se obtiene:
\[ E^2 = (\boldsymbol{\alpha} \cdot \vec{p})^2 + \beta^2 m^2 + (\boldsymbol{\alpha} \cdot \vec{p})\beta m + \beta m(\boldsymbol{\alpha} \cdot \vec{p}) \]
Para que esto coincida con \( p^2 + m^2 \), las matrices \( \boldsymbol{\alpha} \) y \( \beta \) deben cumplir ciertas relaciones algebraicas específicas, como:
\[ \{ \alpha_i, \alpha_j \} = 2\delta_{ij}, \quad \{ \alpha_i, \beta \} = 0, \quad \beta^2 = I \]
Estas condiciones implican que las matrices no son simples números, sino que deben tener una estructura matricial más compleja. De hecho, esto llevó a la introducción de las matrices gamma, que permiten reescribir la ecuación en una forma covariante relativista:
\[ (i\gamma^\mu \partial_\mu – m)\psi = 0 \]
Aquí, \( \psi \) es el espinor de Dirac, una función que contiene cuatro componentes, y las \( \gamma^\mu \) son matrices 4×4 que satisfacen el álgebra de Clifford.
Las consecuencias revolucionarias
La ecuación de Dirac tuvo consecuencias profundas. Al resolverla, se obtienen soluciones tanto de energía positiva como de energía negativa. Esto parecía un problema, pero Dirac propuso una idea audaz: el vacío está lleno de estados de energía negativa ocupados, y una “ausencia” en ese mar de partículas equivale a una antipartícula.
Así nació la predicción del positrón, la contraparte del electrón con carga positiva. Solo cuatro años después, en 1932, Carl Anderson lo descubrió experimentalmente. Era la primera vez en la historia que una partícula había sido predicha por pura teoría, antes de ser observada.
Cómo se resuelve la ecuación de Dirac
Las soluciones a la ecuación de Dirac suelen escribirse en términos de ondas planas. Por ejemplo, se puede buscar soluciones del tipo:
\[ \psi(x) = u(p) e^{-ip \cdot x} \]
Donde \( u(p) \) es un espinor que depende del momento, y \( p^\mu \) es el cuadrivector momento. Al insertar esta solución en la ecuación de Dirac, se obtiene una relación algebraica que define las condiciones sobre el espinor \( u(p) \). Estas soluciones describen tanto partículas como antipartículas, y son esenciales para construir teorías de campos que respeten el principio de relatividad.
Un legado eterno
La ecuación de Dirac no solo resolvió el problema de describir electrones relativistas; también abrió la puerta a la física de partículas moderna, sentó las bases de la teoría cuántica de campos y anticipó la existencia de la antimateria, un concepto que ha sido confirmado, estudiado y utilizado en múltiples aplicaciones, desde aceleradores de partículas hasta imágenes médicas con PET.
En definitiva, la ecuación de Dirac no es solo una demostración matemática elegante, sino una de las joyas más brillantes de la física teórica.
